Пара сил и ее свойства. Пара сил Пара сил моментом м

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару сил, называют плечом пары.

Свойства

Иллюстрация. Синим цветом показано твёрдое тело.

Действие пары сил на тело характеризуется моментом пары сил - произведением модуля одной из сил на плечо, . Как и любой механический момент, момент пары сил является псевдовекторной величиной и направлен перпендикулярно плоскости, заданной параллельными прямыми, на которых лежат векторы сил: (при этом направление вектора плеча условно следует задавать в сторону к точке приложения выбранной из пары силы ).

Момент пары сил не имеет точки приложения (Вторая теорема Вариньона): к каким бы частям твёрдого тела ни прикладывались силы, при данных величине и направлении момента сил вращаться оно будет одинаково.

Действие силы, приложенной к твёрдому телу на некотором расстоянии d от центра масс (в точке, в которую из центра масс можно провести вектор ), эквивалентно дествию такой же силы, приложенной непосредственно к центру масс, комбинированной с некоторой парой сил, такой, что , то есть с моментом, равным моменту силы относительно центра масс (в частности, если , можем задаться , в таком случае одна из сил будет приложена в той же точке, что и исходная, и составит ).

Источники

• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : В 86 томах (82 т. и 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.
• - статья из Физического энциклопедического словаря (1983)

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Пара сил" в других словарях:

Большой Энциклопедический словарь

Система двух сил Р и Р, действующих на тв. тело, равных по абс. величине и направленных параллельно, но в противоположные стороны, т. е. Р = Р. П. с. не имеет равнодействующей, т. е. её нельзя заменить (а следовательно, и уравновесить) одной… … Физическая энциклопедия

Две равные и параллельные силы, направленные в противоположные стороны. П. С., действующая на какое нибудь тело, вызывает вращение этого тела вокруг оси, перпендикулярной к плоскости, в которой находится пара сил. Самойлов К. И. Морской словарь.… … Морской словарь

пара сил - пара сил; пара Система двух параллельных сил, равных по модулю и направленных в противоположные стороны … Политехнический терминологический толковый словарь

ПАРА СИЛ - две равные по абсолютному значению и противоположно направленные параллельные силы, приложенные к одному твёрдому телу. П. с. стремится вызвать вращение тела, к которому она приложена, и не имеет (см.) силы. Расстояние между линиями действия П. с … Большая политехническая энциклопедия

ПАРА СИЛ, две равных и противоположно направленных параллельных силы. Их действие приводит к возникновению вращательного момента … Научно-технический энциклопедический словарь

пара сил - Две компланарные параллельные силы, равные по величине и противоположные по направлению, приложенные к твёрдому телу на некотором расстоянии друг от друга [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] EN couple… … Справочник технического переводчика

Две равные по величине и противоположные по направлению параллельные силы, приложенные к одному телу. Пара сил не имеет равнодействующей. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару сил, называют плечом пары. Действие пары… … Энциклопедический словарь

Система двух сил P и P , действующих на твёрдое тело, равных друг другу по абсолютной величине, параллельных и направленных в противоположные стороны (т. е. P = P; см. рис.). П. с. не имеет равнодействующей, т. е. её действие на тело не… … Большая советская энциклопедия

Две равные по а6с. значению (модулю) и противоположные по направлению параллельные силы F и F (см. рис). прилож. к одному и тому же твёрдому телу. Кратчайшее расстояние l между линиями действия сил пары наз. её плечом. П. с. стремится вызвать… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Действие пары сил на тело характеризуется: 1) величиной модуля момента пары, 2) плоскостью действия, 3) направлением поворота в этой плоскости. При рассмот­рении пар, не лежащих в одной плоскости, для характеристики каж­дой из пар необходимо бу­дет задать все эти три эле­мента. Это можно сделать, если условиться, по аналогии с моментом силы, изображать момент пары соответствую­щим образом, построенным вектором, а именно: будем изображать момент пары вектором т илиМ, мо­дуль которого равен (в выбранном масштабе) модулю момента пары, т.е. произведению одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сто­рону, откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 38).

Рис. 38

Как известно модуль момента пары равен моменту одной из ее сил относительно точки, где приложена другая сила, т. е. ; по направлению же векторы этих моментов совпадают. Следовательно .

Момент силы относительно оси.

Чтобы перейти к решению задач статики для случая произвольной пространственной системы сил, необходимо ввести еще понятие о моменте силы относительно оси.

Момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект, создаваемый силой, стремящейся повернуть тело вокруг дан­ной оси. Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг некоторой оси z (рис. 39).

Рис.39

Пусть на это тело действует сила ,приложенная в точке А . Проведем через точку А плоскость ху , перпендикулярную оси z, и разложим силу на составляющие: , параллельную осиz, и , лежа­щую в плоскости ху ( является одновременно проекцией силы на плоскости ху ). Сила , на­правленная параллельно оси z , очевидно, не может повернуть тело вокруг этой оси (она только стре­мится сдвинуть тело вдоль оси z ). Весь вращательный эффект, создаваемый силой , будет совпадать с вращательным эффек­том ее составляющей . Отсюда заключаем, что , где символ обозначает момент силы относительно оси z .

Для силы же , лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси z , вращательный эффект измеряется произведением модуля этой силы на ее расстояние h от оси. Но этой же величиной измеряется момент силы относительно точки О , в которой ось z пересекается с пло­скостью xу . Следовательно, или, согласно преды­дущему равенству,

В результате приходим к следующему определению: моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Из чертежа (рис.40) видно, что при вычислении момента плоскость ху можно проводить через любую точку оcи z . Таким образом, чтобы найти момент силы относительно оси z (рис. 40) надо:

1) провести плоскость ху , перпендикулярную к оси z (в любом месте);

2) спроектировать силу на эту плоскость и вычислить вели­чину ;

3) опустить из точки О пересечения оси с плоскостью перпендикуляр на направ­ление и найти его длину h ;

4) вычислить произведение ;

5) определить знак момента.

При вычислении моментов надо иметь в виду следующие частные случаи:

1) Если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю (так как F xy =0).

2) Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент отно­сительно оси также равен нулю (так как h = 0).

Понятием алгебраического момента пары удобно пользоваться, если все пары лежат в одной плоскости. Теперь представим, что требуется рассмотреть пары, плоскости действия которых, по отношению друг к другу, расположены в пространстве. В этом случае вводится понятие векторного момента пары. По аналогии с векторным моментом силы относительно центра, векторный момент пары должен определять:

плоскость действия данной пары;

направление вращения пары в этой плоскости;

численное значение момента пары.

Таким образом, модуль этого вектора должен выражать в произвольно выбранном масштабе численное значение момента пары, а направление этого вектора должно определять направление перпендикуляра к плоскости

действия пары. Принято направлять векторный момент пары по перпендикуляру к ее плоскости в ту сторону, чтобы, смотря с его конца на пару,

видеть эту пару вращающей тело против хода часовой стрелки (рис. 25).

Исходя из того, что действие пары на тело не зависит от ее положения в своей плоскости действия, точка приложения векторного момента пары значения не имеет. Условно, за эту точку принимают середину отрезка, соединяющего точки приложения сил данной пары.

Сложение пар. Условия равновесия пар

Теорема о сложении пар, лежащих в одной плоскости. Система пар, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же

плоскости и имеющей момент равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Доказательство: Пусть на тело действуют три пары с моментами ,
,
(рис. 26,а ). На основании теоремы об эквивалентности пар мы можем заменить эти пары тремя парами
,
,
, имеющими общее плечои такие же моменты:
,
,
(рис. 26,б ). Складывая отдельно силы, приложенные в точках и, получаем в точкесилу, а в точкесилу, которые по модулю будут равны(рис. 26,в ).

В результате вся система пар заменяется одной парой
с моментом. Для случая из «» пар с моментами,
, …
, система заменяется одной парой с моментом
. Если пары расположены в пространстве, то можно перейти к векторному равенству
. Проектируя это векторное равенство на оси декартовой системы координат, получаем
,
,
.

Отсюда получаем условие равновесия системы пар : для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары был равен нулю
.

Геометрическое условие равновесия :для равновесия произвольной системы пар необходимо и достаточно, чтобы векторный момент результирующей пары был равен нулю
.

Аналитическое условие равновесия :
или через проекции на оси
,
,
. (7)

Тема 5. Приведение системы сил к центру

Пусть на тело действует система из «» сил, лежащих в одной плоскости.

Мы умеем их складывать, если они пересекаются в одной точке или они параллельны. Однако, если эти силы в плоскости расположены произвольно, то появляется необходимость привести эти силы к какому то центру. Покажем эту процедуру приведения силы к данному центру на примере одной силы. Теорема.Любая данная сила эквивалентна такой же по модулю и направлению сил, но приложенной в другой точке тела и некоторой паре.

Дана сила, приложенная в точке(рис. 27,а ). Требуется привести эту силу к произвольно выбранному центру причем так, чтобы состояние тела при этом не изменилось. Прикладываем в точкедве прямопротивоположные силы
и
, равные по модулю силе(рис. 27,б ). Тогда силы и
образуют пару. Следовательно, данную силуможно заменить равной ей силой
, приложенной в любой точке тела, и парой
с моментом
, что и требовалось доказать (рис. 27,в ).

Из доказанной теоремы получаем, что данную силу можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела с присоединением соответствующей пары. Поэтому пару
называютприсоединенной . Модуль момента присоединенной пары равен
. С другой стороны, произведение
представляет собой момент силыотносительно нового центра приведения:
.Следовательно,
, момент присоединенной пары
равен моменту силы, приложенной в старом центре относительно нового центра .

Приведение плоской системы сил к данному центру. Частные случаи приведения

Пусть на тело действует произвольная система сил,, …,, лежащих в одной плоскости (рис. 28,а ). Возьмем в этой плоскости произвольную точку , которую назовемцентром приведения , и пользуясь доказанной выше теоремой, приведем все силы в центр (рис. 28,б ).

В результате в центре получаем систему сходящихся сил и систему пар сил с моментами:
,
, …,
. Систему сходящихся сил можно заменить одной силой, приложенной в центре, при этом
. Аналогично, по теореме о сложении пар, все пары можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости. Момент этой пары равен
.

Величина , равная геометрической сумме всех сил системы, называетсяглавным вектором системы . Величину
называютглавным моментом системы относительно центра .

В результате получили, что при приведении произвольной плоской системы сил к какому-либо центру , получаем два вектора: - главный вектор системы и
- главный момент системы относительно центра .

Здесь следует отметить, что главный вектор системы не зависит от центра приведения, так как все силы переносятся параллельно самим себе, а главный момент системы
зависит от центра приведения, поскольку при изменении центра приведения плечи у сил будут меняться.

Рассмотрим теперь, к каким простейшим видам можно привести плоскую систему сил.

Рассмотрим два случая.

а)
,
. В этом случае система сразу заменяетсяравнодействующей , которая в данном случае будет равна главному вектору системы и она проходит через точку .

б)
,
. В этом случае система также заменяетсяравнодействующей , которая тоже будет равна главному вектору системы, но проходить она будет не через точку , а через точку. Покажем, что это действительно так, и определим положение точки. Пусть в результате приведения получили главный вектори главный момент
относительно центра(рис. 29,а ). Пару сил изобразим силами и
, причем эти силы подбираем таким образом, чтобы у нас выполнялись равенства:
,
(рис. 29,б ). Затем отбрасываем силы икак уравновешенные, получаем, что система заменяется равнодействующей
, но проходящей через точку(рис. 29,в ). Положение точки определится соотношением
.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Момент равнодействующей системы сил относительно любой точки на плоскости равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Рассмотрим плоскую сходящуюся систему сил, в точке (рис. 30,а ).

a б в

Заменим эту систему сил равнодействующей, приложенной в той же точке (рис. 30,б ). Определим момент этой равнодействующей относительно точки , лежащей на оси (рис. 30,в ). Разложим равнодействующую на составляющие и , каждая из которых будет определяться: ,. Определяя момент этих проекций относительно точки (рис. 30,в ), получаем, что
, так как пересекает точку . Тогда . Аналогично рассматривая каждую из сил (рис. 30,а ), получим, что момент каждой из них относительно точки будет определяться моментом проекции этих сил на ось относительно точки , т.е. , , . Учитывая, что , получаем

. (8)

Система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело. Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому вращательному эффекту, который характеризуется величиной - момент пары.

Он определяется:

Его модулем = F*d. d - расстояние между линиями действия сил пары, называется плечом пары.

Положением в пространстве плоскости действия пары.

Направлением поворота пары в этой плоскости.

Момент пары сил - вектор m(или M), модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары, на ее плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки.

Две пары, лежащие в || плоскостях и имеющие одинаковый момент эквивалентны.

Все пары в пересекающихся плоскостях можно заменить одной парой с моментом, равным сумме моментов этих пар. Для абсолютно твердого тела пара - свободный вектор, определяемы только моментом. Момент перпендикулярен плоскости образуемой парой.

Пару можно заменить параллельной ей равной силе и парой с моментом, равным произведению этой силы на расстояние до новой точки приложения.

Теоремы о парах .

1) Две пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме моментов данных двух пар. .

2) Две пары, имеющие геометрически равные моменты, эквиваленты.

3) Не нарушая состояния твердого тела, пару сил можно переносить в плоскости ее действия. Т.е. момент пары сил является свободным вектором.

4) Система нескольких пар сил эквивалента одной паре, момент которой равен векторной сумме моментов данных пар. Т.е. система пар приводится к одной паре, момент которой равен сумме моментов всех пар. Условие равновесия пар сил: - геометрическая сумма их моментов равна 0. Пары сил, расположенные в одной плоскости, взаимно уравновеш-тся, если алгебраическая сумма их моментов åМ i =0.

Момент силы относительно точки - вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо и направленный перпендикулярно плоскости, содержащей силу и точку, в такую сторону, чтобы смотря ему навстречу, видеть силу стремящейся повернуться против хода час.стрелки. Плечо "h"- кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы. - момент силы равен векторному произведению вектора на вектор . Модуль векторного произведения: R×F×sina = F×h. Для плоской сист. сил обычно находят не вектор момента, а только его модуль: ± F×h, >0 - против час.стр.; x, F y , F z - проекции силы на оси координат и точка 0 - начало координат, то

= (yF z - zF y) + (zF x - xF z) + (xF y - yF x) , откуда проекции момента силы на оси коорд.: М 0 x () = yF z - zF y ; М 0 y () = zF x - xF z ; М 0 z () = xF y - yF x .

Главный вектор - векторная сумма всех сил, приложенных к телу. Главный момент относительно центра - векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно того же центра.

Теорема (лемма) о параллельном переносе силы : сила приложенная в какой-либо точке тверд. тела, эквивалента такой же силе, приложенной в любой др. точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

1. Пара сил - система двух сил, приложенных к телу в двух разных точках:

Равных по модулю

Параллельных

Противоположно направленных

2. Плечо пары сил – кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.

Момент пары сил

Момент пары сил - произведение модуля любой силы на плечо пары (модуль силы х плечо)

Свойства пары сил

1. Сумма проекций на любую ось сил пары равна нулю

F 2 cosα – F 1 cosα = 0

2. Сумма моментов сил пары относительно любой точки плоскости равна моменту пары.

mom o () = - F 1 d = - Fd

mom o () = + F 2 l = +Fl

mom o () + mom o () = - Fd + Fl = - F(d-l) = - Fh

Следовательно, пару сил нельзя заменить равнодействующей.

Самостоятельная работа обучающегося по теме 1.3. (1 час – все )

1. Составить глоссарий основных понятий по теме «Пара сил» - арх, ‘эзс – 1 час

1. Решение задач на определение моментов сил относительно точки: авто – 1час

Тема 1.4. Плоская система произвольно расположенных сил

– (4 час арх, 2час авто, эзс)

Основные понятия

1. Плоская система сил – система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.

2. На плоскости могут быть приложены силы:

А) произвольно расположенные;

Б) пары сил;

В) силы, сходящиеся в одной точке.

3. Плоская система произвольно расположенных сил – все силы или линии их действия не пересекаются в одной точке.

Приведение плоской системы сил к заданному центру

1.Пусть на твёрдое тело действует система сил

2. Приложим в точке Опо 2 уравновешенные силы :

А) одна равна и параллельна заданной:

Б) другая сила равна заданной, но противоположно направлена

3. В итоге на тело действует:

А) система сходящихся сил

Б) система пар сил с моментами

4. Систему сходящихся сил заменяем равнодействующей

Или в соответствии с тем, что и т.д.

5. В соответствии со вторым свойством пары сил найдём алгебраическую сумму моментов всех пар

М о =m 1 +m 2 + …+m n

Лемма Пуансо

1. В результате произвольную плоскую систему сил можно заменить :

- одной силой , равной геометрической сумме всех сил, приложенных в произвольно выбранном центре и

- моментом , равным алгебраической сумме моментов присоединенных пар

2. Принятые определения:

А) точка о – центр приведения

Б) главный вектор – векторR, равный геометрической сумме всех сил. Его значение не зависит от выбора центра приведения.

В) главный момент – момент М О, равный алгебраической сумме моментов присоединённых пар. Его значение зависит от выбора центра приведения (величина плеча будет меняться).

Частные случаи приведения

1.R 0 =0,M 0 ≠0 – система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения;

2. R 0 ≠0,M 0 =0 – система эквивалентна равнодействующей R. Главный вектор в данном случае – является равнодействующей.

3. R 0 ≠0,M 0 ≠0 – система эквивалентна равнодействующей R, приложенной в новом центре приведения, расположенном от прежнего на расстоянии d = М о \R

4. R=0,M 0 =0 – плоская система сил находится в равновесии;

Теорема Вариньона (о моменте равнодействующей плоской системы сил)

Момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольного центра О равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно этого центра.

Аналитические уравнения равновесия плоской системы сил

Условие равновесия выражается тремя уравнениями – основные уравнения равновесия :

2. Варианты записи уравнений равновесия – в зависимости от расположения сил

Класссификация нагрузок

Сосредоточенная

Распределённая: по линии, по поверхности, по объёму

Изгибающий момент

Балочные системы

1. Объект решения задач статики – балки (или балочные системы)

2. Балка – деталь в виде прямого бруса с опорами в двух (или более) точках.

Виды опор

1. Шарнирно-подвижная : вращение вокруг своей оси (шарнир) + поступательное перемещение (подвижная)

2. Шарнирно-неподвижная : вращение вокруг своей оси (шарнир)

3. Жёсткая заделка (защемление ): препятствует любому перемещению.

Решение задач на определение опорных реакций

С помощью трёх уравнений равновесия определяют реакции опор (если число реакций связи не превышает трёх):

1. Показать нагрузки

2. Обозначают нагрузки

3. Освобождаются от опор и заменяют их действие на балку реакциями

4. Составляют уравнение равновесия

5. Решают уравнения равновесия и определяют из них опорные реакции

6. Проверка решения

Определение усилий в стержнях плоских ферм – вырезанием узлов

1. Аналитический способ

2. Графический способ – построением диаграммы Максвелла – Кремоны

Элементы теории трения

ТЕМА 1.5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ (авто - 1 час)

Самостоятельная работа обучающегося (авто – 1час)

1. Решение задач по индивидуальным заданиям

1. Понятие о трении

Сила трения возникает при соприкосновении тел и препятствует передвижению одного тела по поверхности другого.

2. Виды сил трения:

А) трение скольжения

Б) трение скольжения

3. Трение скольжения – сопротивление, возникающее при относительном перемещении одного тела по поверхности другого.

4. Законы трения :

А) Сила трения F тр направлена в сторону, противоположную относительной скорости скольжения

Б) Сила трения не зависит от площади контактирующих поверхностей

В) Модуль силы трения пропорционален нормальному давлению (чем больше нормальное давление, тем больше сила трения).

5. По рисунку:

А) сила тяжести mg– вниз (чем большеmg, тем больше опорная реакцияN(вектор)

Б) тело движется вниз = сила трения направлена вверх по наклонной плоскости

В) гладкая поверхность = опорная реакция N(вектор) направлена перпендикулярна плоскости

Г) по аксиоме 3 строим диагональ параллелограмма R(равнодействующая)

6. Виды сил трения скольжения :

А) сила трения при покое F тр f o N

Б) сила трения при движении F тр fN

N– сила нормального давления

f o – коэффициент трения покоя

f– коэффициент трения скольжения – зависит от скорости скольжения тел.

Оба коэффициента зависят от материала и физического состояния поверхностей

7. Трение качения – сопротивление, возникающее при качении одного тела к другому.

8. Виды связей :

А) идеальные (без трения)

Б) реальные (с трением)

Самостоятельная работа обучающихся – 3час эзс, 4час арх,

1. Решить задачи по определению опорных реакций для однопролётной балки по вариантам

2. Решить задачи на определение усилий в стержнях фермы по вариантам

3. Сравнить способы определения усилий, сделать краткий анализ о преимуществах и недостатках каждого метода - результат оформить в виде таблицы

Авто – 2час

1. Выполнение расчётно­-графической работы на определение опорных реакций балочных систем